RECURSOS DIDACTICOS PARA ENSEÑAR EL TEOREMA DE PITAGORAS

Si necesitas mostrar a tus estudiantes varias demostraciones animada del teorema te recomiendo que utilices programas de geometría dinámica como cabri,  geogebra  y regla y compas son fáciles y muy funcionales.   son categorizados  "software de geometría dinámica" pero supera ampliamente las limitaciones de esta categoría."

Estos tres software son muy parecidos, ya que se puden realizar las mismas construcciones basicas y complejas como:

      

Mediatriz y  punto medio.

Recta paralela.  

Bisectriz de un ángulo

Recta perpendicular.  

División de un segmento en partes iguales.

Construcción de triángulos

Traslación, rotación, simetría axial, simetría central

Pantógrafos, etc.

M

"Geogebra: es un software libre escrito en Java y, por ello, disponible en múltiples plataformas (Sistemas operativos). Está diseñado para interactuar dinámicamente en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo. Puede ser usado para Matemáticas, Física, Dibujo Técnico.

Fue especialmente diseñado para utilizarlo en la enseñanza a nivel de la escolaridad media.
Su creador, Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida. tomado:http://www.unirioja.es/cu/jofernh/charla/

para descargar:www.geogebra.org/download/install.htm

Regla y compas (C.A.R): Es una aplicación ideal para el ámbito escolar con la que los alumnos pueden desarrollar los conocimientos sobre geometría aprendidos en clase.

Con él podrás realizar toda clase de formas y figuras geométricas, desde unas simples líneas perpendiculares hasta las construcciones más complicadas, como proyecciones de objetos, representación de funciones numéricas, etc.

para descargar: http://car-regla-y-compas.uptodown.com/ 

Cabri-Géomètre es un paquete de cómputo de geometría dinámica interactiva en tiempo real. Permite hacer la geometría de una manera muy particular: el usuario puede animar una figura desplazándola o deformándola y el resultado se presentará inmediatamente en la pantalla de la computadora. Esta libertad de movimiento permite rebasar los límites impuestos por el papel y el lápiz de la geometría tradicional. Es un medio de trabajo donde el estudiante tiene la posibilidad de experimentar con una materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones y de sus relaciones, de tal forma que los estudiantes puedan vivir un tipo de experimentación matemática que no es posible tener de otra forma.

para descargar: http://www.uptodown.com/buscar/descargar-cabri-geometre

DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras tiene bastantes demostraciones, algunas muy complicadas que no son entendibles para un estudiante de bachillerato, pero también existen otras que son fáciles y comprensibles.

 Es por esto, que les quiero  presentar  una demostración que me parece sencilla y fácil de  comprender.

Demostración:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x² + y² = r². La figura que hemos obtenido es la siguiente:

Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Por tanto el área de ese cuadrado es (x + y)² (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r². Y el área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:

(x + y)² = r² + 4· xy/2 (1)

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:

(x + y)² = (x + y) · (x + y)

           = x² + 2xy + y²

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:

r² + 4· xy/2 = r² + 4/2 · xy

                  = r² + 2xy        

                                         

Sustituimos en (1):

x² + 2xy + y² = r² + 2xy

x² + 2xy - 2xy + y² = r²

 

Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniendo así el resultado buscado:

x² + y² = r²

 

Pero si no les quedo muy clara esta demostración estos son algunos videos que les pueden ser útiles:

tomado:http://www.youtube.com/watch?v=yDR5FDcMO5o

 tomado: http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf

En las siguientes páginas  podrás encontrar las diferentes demostraciones que existe del teorema de Pitágoras:

http://www.youtube.com/watch?v=Rejvxuz4ayE
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm
http://www.geometriadinamica.cl/2010/01/deduciendo-pitagoras/

IMPORTANCIA Y APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORA

¿Para que aprender el teorema de Pitágoras si no soy científico, geométrico, matemático o físico? ¿Para que me va a servir este teorema en mi vida cotidiana? estas son unas de muchas preguntas que se hacen los estudiantes cuando el profesor de matemáticas les esta enseñando este teorema.

Pero lo que no saben es que el teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Por ejemplo:

 

El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.  

Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra. 

Si  desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

El Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado de un triangulo  rectángulo, siempre y cuando se conozca las longitudes de los  otros dos lados.

El Teorema de Pitágoras es un raro método matemático que ayuda a hallar la valencia de una famosísima equis en un triangulo mal dibujado; ya que un lado es más grande que los otros dos.    

Tomado de:http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/AplicacionesdePitagoras/AplicacionesdePitagoras.htm

Además  es de gran importancia para hacer análisis geométrico en diferentes áreas del conocimiento. Por esto la comprensión y destreza en su manejo es de vital importancia, particularmente en el estudio de los fenómenos físicos. 

Tomado de: http://filemon.upct.es/~pepemar/triangulo/pitagoras.html

 

Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras más importantes es la definición de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo. Aunque estas también pueden ser definidas a partir de la circunferencia unidad, es mediante el teorema de Pitágoras cuando estas cogen más sentido y  utilidad.

 Tomado de:http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/AplicacionesdePitagoras/AplicacionesdePitagoras.htm

TEOREMA DE PITAGORAS

Antes de hablar del teorema de pitagoras debemos recordar que:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

tomado de:http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index11.htm

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
tomado de:http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos

tomado de: http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/teorema_pitagoras.pdf

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. 

Veamos si las áreas son la misma:

                     

                  3² + 4² = 5²

               Calculando obtenemos:

                    9 + 16 = 25 

 ¡sí, funciona! 

Observa detenidamente la siguiente animación:

(Animación tomada de : T.P)

tomado de:http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index11.htm

veamos este video sobre el teorema de pitagora:

 

tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w

LOS PITAGORICOS

Tomada de: http://laescueladeateanas.files.wordpress.com/2008/11/800px-bronnikov_gimnpifagoreizev-pitagoricos.jpg

 

Los pitagóricos eran aquellos miembros seguidores de la escuela pitagórica, una organización griega de astrónomos, músicos, matemáticos y filósofos, que creían que todas las cosas son, en esencia, números. El grupo mantuvo en secreto el descubrimiento de los números irracionales, y la leyenda cuenta que un miembro fue ahogado por no mantener el secreto. 

El pentagrama (estrella de cinco puntas) fue un importante símbolo religioso usado por los pitagóricos, que lo denominaban "salud". Los pitagóricos deben su nombre a la influencia que sobre ellos tuvo el filósofo presocrático Pitágoras.  
Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Los pitagóricos enseñaron y practicaron un sistema de vida basado en la creencia de que el alma es prisionera del cuerpo, del cual se libera al morir y se reencarna en una forma de existencia, más elevada o no, en relación con el grado de virtud alcanzado.

El principal propósito de los seres humanos tendría que ser la purificación de sus almas mediante el cultivo de virtudes intelectuales, la abstención de los placeres de los sentidos y la práctica de diversos rituales religiosos.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.

En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como Teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración de este teorema geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva.

Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, dedujeron que el movimiento planetario produce una “música de las esferas” y desarrollaron una “terapia a través de la música” para lograr que la humanidad encontrara su armonía con las esferas celestes.

Identificaron la ciencia con las matemáticas y mantuvieron que todas las cosas son reductibles a números y figuras geométricas. Realizaron grandes contribuciones a las matemáticas, la teoría musical y la astronomía.

Tomado de:http://www.profesorenlinea.cl/biografias/Pitagoras.htm

Otro descubrimiento pitagorico fue la observacion de que, cuando dos cuerdas de un instrumento musical vibran con sonidos armonicos, sus longitudes forman una relacion expresada por numeros sencillos (como 1:2, 1:3, 2:3, etc).

 Tomado de:http://www.oya-es.net/reportajes/pitagoras.htm

PITAGORAS (580 a.c - 520 a.c)

                        

 Tomada de:http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/fotos/pitagoras.jpg

Nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. y murio en Metaponto. Fue Matemático, filósofo, astrónomo, músico y místico griego. fue un pensador mistico, reformador y religioso. 

Es considerado el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos.

EL padre de Pitágoras fue Mnesarchus y su madre Pithais. 

Tomado de: http://www.portalplanetasedna.com.ar/matematico2.htm

Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. 
Tomado de:http://www.profesorenlinea.cl/biografias/Pitagoras.htm

La vida de Pitagoras se puede distinguir tres etapas: la  primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y La tercera en Lo que más tarde Se Llamó la Magna Grecia , con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapa. 

De pequeño Pitágoras viajó mucho con su padre. Hay registros de Pitágoras en Tiro, donde aprendió con los hombres ilustrados de Siria. También habría visitado Italia con su padre. 

Tres filósofos se encontraban entre sus maestros. Uno fue Pherekydes. Los otros dos filósofos son Thai es y su discípulo Anaximandro, ambos vivían en Mileto, quienes Lo introdujeron en las ideas matemáticas. 

Pitágoras conoce a Thales en Mileto entre Los 18 y 20 años. En este época, Thales era un anciano y contribuyó al interés de Pítágoras por la Matemática y La Astronomía y le aconseja viajar a Egipto para profundizar estos temas. Anaximandro Le dio clases de Geometría y Cosmología y muchas de sus ideas influyeron en Pitágoras. 
Tomado de:http://www.portalplanetasedna.com.ar/matematico2.htm

Hacia el año 530 se instaló en Crotona (Italia), donde fundó la escuela pitagórica, que llegó a convertirse en una asociación parcialmente religiosa, científica y filosófica, apoyada en la creencia de la inmortalidad del alma y la doctrina de la reencarnación, la práctica de la alimentación vegetariana y un sistema educativo basado en la gimnasia, las matemáticas y la música, era una especie de secta cuyo símbolo era el pentágono estrellado.
Tomado de:http://www.profesorenlinea.cl/biografias/Pitagoras.htm

Tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=cowWo6OcSiE

LAS MATEMATICAS

Una forma de entender que son las matematicas, donde la encontramos, para que nos sirve y en que la utilizamos es viendo esta la madavilllosa pelicula del pato Donal.

 

Donald en el Mágico Mundo de las Matemáticas 

 

  parte 1

Tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=k-EGdsOzoD0

parte 2

 

Tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=hX1_9F6_Hfw

parte 3

Tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=UzarHHiR5fI

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo". Galileo Galilei(1564-1642) Físico y astrónomo italiano.